PROFMAT 2027: prova resolvida e gabarito não oficial

O ENA PROFMAT 2027, aplicado em 10 de outubro de 2026, seleciona candidatos para ingresso no mestrado em 2027. Reunimos aqui a prova PROFMAT 2027 resolvida, com as 30 questões da reprodução fornecida, suas alternativas, figuras e resoluções completas, além de materiais em PDF e uma análise dos assuntos em relação ao edital.

Material independente e não oficial. O caderno é uma reprodução para fins educacionais; gabarito e resoluções da Waldemática não foram emitidos, aprovados ou validados pela SBM ou pelo PROFMAT.

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Ir diretamente a uma das 30 questões

Prova do ENA PROFMAT 2027: baixar materiais

Os arquivos abaixo são materiais independentes para estudo. O caderno inclui as 30 questões, as figuras e o gabarito ao final; não é uma versão de simulado sem respostas.

Todos os materiais são não oficiais. O gabarito avulso inclui a ressalva da questão 23: B e E são matematicamente equivalentes no material reproduzido; isso não afirma anulação nem decisão oficial da organização.

Gabarito não oficial do PROFMAT 2027

Gabarito não oficial, elaborado para estudo. Consulte as publicações da organização do ENA para conferir o gabarito oficial e eventuais alterações. As respostas abaixo foram conferidas com os dois DOCX fornecidos em 11/10/2026.

Ressalva da questão 23: na reprodução, B = 2√5/5 e E = 2/√5 são o mesmo número. A indicação de ambas é matemática e se refere a este material; não afirma anulação nem decisão oficial da organização.

O que previa o edital do ENA 2027

O Edital nº 23, de 6 de agosto de 2026, com a primeira retificação, prevê 30 questões de múltipla escolha. O item 4.4 apresenta 14 conteúdos, de a a n, mas não fixa pesos percentuais por assunto.

O cronograma do edital prevê divulgação do gabarito preliminar até 13/10/2026 e do definitivo até 19/10/2026. Essas são datas previstas, não confirmação de publicação. Para acompanhar os documentos oficiais, consulte a página de ingresso 2027 da SBM, as informações do ENA 2027 e o edital oficial em PDF.

A comparação a seguir utiliza o item 4.4 do edital com a primeira retificação. O gabarito desta página permanece não oficial.

Quais assuntos apareceram nas 30 questões?

Esta é uma classificação pedagógica da Waldemática. Atribuímos cada questão a exatamente um assunto principal, de modo que a soma é 30. Calculamos cada percentual por (quantidade ÷ 30) × 100, arredondando para uma casa decimal. Os dez grupos abaixo não são os 14 tópicos formais nem pesos definidos pela banca.

Equações, funções e modelagem somam seis questões; geometria plana e áreas, cinco. Isso descreve esta amostra, sem estabelecer tendência histórica ou prever a próxima prova. A ausência de cobrança direta de um tema não o torna irrelevante para a preparação.

Algumas escolhas merecem explicação: a Q1 usa contagem de múltiplos para calcular uma probabilidade; a Q18 usa inclusão e exclusão com divisibilidade; a Q19 modela uma tarifa em degraus. A Q27 pede distâncias espaciais, não volumes, e o fatorial da Q29 é uma ferramenta para simplificar radicais, não uma cobrança de combinatória.

Do edital à prova: quais conteúdos foram cobrados?

Aqui registramos conteúdos principais e ferramentas secundárias. Uma questão pode aparecer em mais de uma linha. Portanto, esta tabela relaciona conhecimentos e não constitui uma distribuição de percentuais somáveis. Os títulos dos 14 itens abaixo seguem o item 4.4 do edital.

Essa leitura ajuda a planejar a revisão por conexões: razões aparecem em áreas; Pitágoras ajuda a calcular distâncias; a análise de sinais resolve a inequação racional. A tabela distingue essas ferramentas do assunto usado para contar cada questão uma única vez.

Como aproveitar a prova para estudar

A arte propõe cinco ações: resolva antes, assista aos vídeos, estude pela resolução, mapeie seus pontos fracos e monte um plano de revisão. Tente cada questão antes de ler a resposta; depois, identifique em qual passo sua tentativa se afastou da solução. Na revisão, refaça a questão sem consultar o texto para verificar se compreendeu o caminho.

Prova PROFMAT 2027 resolvida

A seguir estão os enunciados e as alternativas integrais da reprodução, seguidos das resoluções fornecidas pela Waldemática. As fórmulas do DOCX foram transcritas para leitura na web, preservando as operações e conclusões. Em telas pequenas, deslize horizontalmente as fórmulas longas para ver toda a conta.

Questão 1

Enunciado e alternativas

Escolhendo aleatoriamente um natural 1 ≤ n ≤ 100, qual é a probabilidade de n não ser um múltiplo de 6?

(A) 16%

(B) 21%

(C) 72%

(D) 83%

(E) 84%

Resolução completa

O que se pede: escolher, com a mesma chance, um dos naturais de 1 a 100 e calcular a probabilidade de ele não ser múltiplo de 6.

1. Contamos primeiro o evento contrário. Os múltiplos de 6 nesse intervalo são 6, 12, 18, ..., 96. Como 6 × 16 = 96 e 6 × 17 = 102, há exatamente 16 deles.

2. Dos 100 resultados possíveis, os que não são múltiplos de 6 totalizam 100 − 16 = 84.

3. Em uma escolha equiprovável, a probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis.

Alternativa E. A probabilidade é 84%.

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Questão 2

Enunciado e alternativas

É estimado que a população de um país cresça 1% ao ano, nos próximos n anos. Se a população atual é igual a P₀, qual a estimativa para a população daqui a n anos?

(A) 1.01ⁿP₀

(B) (1 + 0,01ⁿ)P₀

(C) (1 + 0,01n)P₀

(D) 0,01ⁿP₀

(E) 1,1ⁿP₀

Resolução completa

O que se pede: estimar a população após n anos, partindo de P₀ e considerando crescimento de 1% ao ano.

1. Crescer 1% significa manter 100% da população e acrescentar 1%. Portanto, a população de cada ano é multiplicada por 1,01.

2. No segundo ano, o aumento incide sobre a população já atualizada, e não apenas sobre P₀. Assim, o crescimento é composto.

3. Repetindo esse fator n vezes, obtemos a expressão procurada. A fórmula P₀(1 + 0,01n) representaria um acréscimo anual calculado sempre sobre a população inicial, o que não corresponde ao enunciado.

Alternativa A. A população estimada é (1,01)ⁿP₀.

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Questão 3

Enunciado e alternativas

Os números inteiros do conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} devem ser distribuídos nas oito figuras geométricas a seguir (quatro quadrados e quatro círculos), de modo que cada número seja utilizado exatamente uma vez:

A regra estabelece que o número contido em cada círculo é igual à soma dos números contidos nos dois quadrados diretamente ligados a ele.

O número a ser colocado no interior do círculo cinza é:

(A) 4

(B) 5

(C) 7

(D) 8

(E) 9

Resolução completa

O que se pede: distribuir os números de 2 a 9, sem repetição, de modo que cada círculo contenha a soma dos quadrados ligados a ele, e determinar o círculo cinza.

1. O círculo superior já contém 6. Os dois quadrados superiores precisam, portanto, somar 6. Como os números são distintos e pertencem ao conjunto indicado, a única possibilidade é usar 2 e 4. A decomposição 3 + 3 é proibida pela repetição.

2. Seja d o número do quadrado inferior direito. Os círculos central e direito contêm 2 + d e 4 + d, em alguma ordem. Como nenhum valor pode ultrapassar 9, temos d ≤ 5. Os números 2, 4 e 6 já estão usados; restam apenas d = 3 ou d = 5 nessa faixa.

3. Se d = 3, esses círculos recebem 5 e 7. Sobram 8 e 9 para o quadrado inferior esquerdo e o círculo cinza. Isso é impossível: o círculo cinza teria de ser 3 + 8 = 11 ou 3 + 9 = 12, fora do conjunto.

4. Logo, d = 5. Os dois círculos recebem 7 e 9, e sobram 3 e 8. O quadrado inferior esquerdo recebe 3, e o círculo cinza recebe 3 + 5 = 8. Todos os números de 2 a 9 são utilizados uma única vez.

Alternativa D. O círculo cinza contém 8.

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Questão 4

Enunciado e alternativas

O valor de k para que as equações do primeiro grau em x dadas por 2x + 3k − 5 = 0 e 7x − 13k + 9 = 0 tenham a mesma solução é igual a

(A) 39/41.

(B) 53/47.

(C) 63/71.

(D) 53/49.

(E) 73/91.

Resolução completa

O que se pede: determinar k para que 2x + 3k − 5 = 0 e 7x − 13k + 9 = 0 tenham a mesma solução em x.

1. Isolamos x em cada equação. Os divisores 2 e 7 são não nulos, portanto não há restrição adicional sobre k.

2. Igualamos as duas expressões, pois o valor de x deve ser o mesmo. Em seguida, multiplicamos pelos denominadores.

3. Desenvolvemos os produtos e reunimos os termos com k em um lado e os termos constantes no outro.

Alternativa B. O valor de k é 53/47.

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Questão 5

Enunciado e alternativas

A logomarca do PROFMAT é inspirada em uma construção fractal clássica baseada em triângulos equiláteros, o triângulo de Sierpinski. Considere um triângulo equilátero principal de lado ℓ. Inicialmente, subdivide-se esse triângulo em quatro triângulos equiláteros menores e congruentes ligando-se os pontos médios de seus lados. Em seguida, repete-se o mesmo procedimento em cada um dos três triângulos menores dos cantos, como ilustrado na figura a seguir:

O ponto A é o ponto médio do lado esquerdo do triângulo principal, e o ponto B é o vértice inferior do triângulo invertido desenhado no canto inferior direito, situado sobre a base do triângulo maior. Nesse caso, a distância entre os pontos A e B é igual a:

(A) ℓ√7/4

(B) ℓ√5/4

(C) ℓ√3/4

(D) ℓ√3/2

(E) ℓ√7/2

Resolução completa

O que se pede: calcular a distância AB na figura, em função do lado ℓ do triângulo equilátero principal.

1. Colocamos a base do triângulo na horizontal, com o vértice esquerdo na origem. Pelo teorema de Pitágoras, a altura de um triângulo equilátero de lado ℓ é h = ℓ√3/2.

2. O vértice superior tem coordenadas (ℓ/2, h). Como A é o ponto médio do lado esquerdo, suas coordenadas são (ℓ/4, h/2). O ponto B fica no meio da metade direita da base, portanto B = (3ℓ/4, 0).

3. Entre A e B, a diferença horizontal é ℓ/2, e a diferença vertical, em valor absoluto, é h/2 = ℓ√3/4. Essas medidas são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa AB.

4. Como uma distância é positiva, tomamos a raiz quadrada positiva.

Alternativa A. A distância é ℓ√7/4.

Disponibilidade do vídeo: na verificação de 11/10/2026, o YouTube informou que este vídeo é privado. A resolução escrita completa permanece disponível acima.

Assistir à resolução da questão 5 no YouTube.

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Questão 6

Enunciado e alternativas

A região sombreada da figura da questão anterior é formada pela união do triângulo central da primeira etapa com os três triângulos invertidos menores obtidos na segunda etapa.

A razão entre a área da região sombreada e a área do triângulo principal, de lado ℓ, é igual a:

(A) 1/4

(B) 5/16

(C) 7/16

(D) 9/16

(E) 11/16

Resolução completa

O que se pede: determinar a fração da área do triângulo principal ocupada pelo triângulo central e pelos três triângulos invertidos da segunda etapa.

1. Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. O triângulo central tem lado ℓ/2; portanto, sua área corresponde a (1/2)² = 1/4 da área total.

2. Cada triângulo sombreado da segunda etapa tem lado ℓ/4. Sua área corresponde, então, a (1/4)² = 1/16 da área total. Há três triângulos desse tamanho.

3. As regiões sombreadas não se sobrepõem em áreas: apenas se encontram em pontos ou bordas. Por isso, podemos somar suas áreas diretamente.

Alternativa C. A razão entre as áreas é 7/16.

Disponibilidade do Short: na verificação de 11/10/2026, o YouTube informou que este vídeo é privado. A resolução escrita completa permanece disponível acima.

Assistir ao Short da questão 6 no YouTube.

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Questão 7

Enunciado e alternativas

Em uma progressão aritmética de 2001 termos, o primeiro e o último termos são 17 e 4043, respectivamente. O milésimo primeiro termo dessa progressão é igual a

(A) 1940.

(B) 1960.

(C) 2010.

(D) 2030.

(E) 2050.

Resolução completa

O que se pede: encontrar o termo de posição 1001 de uma PA com 2001 termos, primeiro termo 17 e último termo 4043.

1. Uma PA tem diferença constante entre termos consecutivos. O termo de posição 1001 é o termo central: existem 1000 termos antes dele e 1000 depois dele.

2. O primeiro e o último termos ficam à mesma distância do termo central. Assim, o termo central é a média aritmética dos extremos.

3. Podemos conferir pela razão. Entre o primeiro e o último termos existem 2000 intervalos; a razão é (4043 − 17)/2000 = 2,013. Após 1000 intervalos, temos 17 + 1000 × 2,013 = 2030. A razão de uma PA não precisa ser inteira.

Alternativa D. O milésimo primeiro termo é 2030.

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Questão 8

Enunciado e alternativas

Considere as afirmações abaixo envolvendo números reais:

I. Se x e y são racionais não nulos, então x + y√2 é irracional.

II. Se x é um número irracional positivo, então √x é irracional.

III. Se ⁴√x é irracional, então √x é irracional.

É correto o que se afirma em

(A) II, apenas.

(B) III, apenas.

(C) I e II, apenas.

(D) I e III, apenas.

(E) I, II e III.

Resolução completa

O que se pede: julgar as afirmações I, II e III sobre soma e raízes de números reais.

1. A afirmação I é verdadeira. Suponha que x e y sejam racionais, com y ≠ 0, e que x + y√2 seja racional. Subtraindo x e dividindo por y, obteríamos √2 como quociente de racionais, o que contradiz sua irracionalidade.

2. A afirmação II também é verdadeira. Se x > 0 é irracional e √x fosse racional, seu quadrado seria racional. Mas (√x)² = x, contradizendo a hipótese.

3. A afirmação III é falsa. Basta apresentar um contraexemplo: para x = 4, a raiz quarta é √2, que é irracional, enquanto a raiz quadrada é 2, que é racional.

4. Portanto, somente I e II estão corretas. Um único contraexemplo já é suficiente para refutar uma afirmação universal como a III.

Alternativa C. São verdadeiras I e II, apenas.

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Questão 9

Enunciado e alternativas

O perímetro de um retângulo é 20% maior que o perímetro de um quadrado. Sabendo que um dos lados do retângulo é 20% menor que o lado do quadrado, é correto afirmar que a área do retângulo é

(A) igual à área do quadrado.

(B) 28% maior do que a área do quadrado.

(C) 20% menor do que a área do quadrado.

(D) 25% menor do que a área do quadrado.

(E) 30% maior do que a área do quadrado.

Resolução completa

O que se pede: comparar a área de um retângulo com a de um quadrado, sabendo que o perímetro do retângulo é 20% maior e um de seus lados é 20% menor que o lado do quadrado.

1. Seja s > 0 o lado do quadrado. Seu perímetro é 4s e sua área é s². O lado conhecido do retângulo mede 0,8s, pois corresponde a 80% de s.

2. Se t é o outro lado do retângulo, seu perímetro é 2(0,8s + t). Esse perímetro equivale a 120% do perímetro do quadrado.

3. Dividimos por 2 e isolamos t. Depois, multiplicamos os lados para obter a área do retângulo.

4. O fator 1,28 indica 128% da área original, isto é, um aumento de 28%. A variação percentual do perímetro não é, em geral, a mesma da área.

Alternativa B. A área do retângulo é 28% maior.

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Questão 10

Enunciado e alternativas

A média de emissão anual de carbono de uma frota de 15 navios era de 28 mil toneladas por embarcação. Dois desses navios, que emitiam anualmente um 46 mil e o outro 20 mil toneladas, foram retirados de circulação.

A nova média de emissão anual dos 13 navios restantes, em milhares de toneladas, passou a ser de aproximadamente:

(A) 26,4

(B) 27,2

(C) 27,8

(D) 28,0

(E) 28,6

Resolução completa

O que se pede: calcular a nova média de emissão anual dos 13 navios restantes. Todos os cálculos a seguir usam milhares de toneladas.

1. A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de elementos. Portanto, recuperamos a emissão total multiplicando a média antiga pelo número de navios.

2. Retiramos do total as emissões dos dois navios que saíram de circulação: 46 e 20. A quantidade de navios também muda, de 15 para 13.

3. Dividimos o novo total pela nova quantidade e arredondamos para uma casa decimal, como nas alternativas.

4. O resultado é coerente: os dois navios retirados tinham média 33, superior à média inicial de 28. Sua retirada faz a média dos restantes diminuir.

Alternativa B. A nova média é aproximadamente 27,2 mil toneladas por navio.

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Questão 11

Enunciado e alternativas

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U. Denotamos por Xᶜ o complementar de X em relação a U. Sabe-se que A ∩ B = ∅ e A ⊂ C. Qual das expressões abaixo é necessariamente igual a ∅?

(A) A ∩ (B ∪ Cᶜ)

(B) (A ∪ B) ∩ Cᶜ

(C) (A ∩ C) ∪ B

(D) (A ∪ C) ∩ B

(E) Aᶜ

Resolução completa

O que se pede: identificar a expressão que é necessariamente vazia quando A ∩ B = ∅ e A está contido em C.

1. A condição A ∩ B = ∅ significa que nenhum elemento pertence simultaneamente a A e B.

2. Como A está contido em C, todo elemento de A pertence a C. Logo, nenhum elemento de A pode estar no complementar de C, indicado por Cᶜ. Portanto, A ∩ Cᶜ = ∅.

3. Aplicamos a propriedade distributiva da interseção sobre a união à expressão da alternativa A.

4. A palavra “necessariamente” exige que isso aconteça em todos os casos permitidos. Nas demais alternativas, podem aparecer elementos de B fora de C, elementos de A ou elementos de C ∩ B; as hipóteses não obrigam essas regiões a serem vazias. Também não exigem que A = U.

Alternativa A. A ∩ (B ∪ Cᶜ) é sempre vazio.

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Questão 12

Enunciado e alternativas

Quantos números naturais de três algarismos não possuem o algarismo 5 em sua representação decimal?

(A) 648

(B) 720

(C) 729

(D) 810

(E) 900

Resolução completa

O que se pede: contar os naturais de três algarismos que não apresentam o dígito 5 em nenhuma posição.

1. Na centena, o algarismo não pode ser 0, pois o número deixaria de ter três algarismos. Também não pode ser 5. Sobram 8 escolhas: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9.

2. Na dezena, o 0 é permitido, mas o 5 continua proibido. Há 9 escolhas. Na unidade ocorre o mesmo: mais 9 escolhas.

3. As escolhas das posições são independentes, e o enunciado permite repetir algarismos. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as quantidades.

Alternativa A. Existem 648 números.

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Questão 13

Enunciado e alternativas

O gráfico a seguir apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas pelos 40 candidatos que prestaram um concurso público:

Sejam m, M e Mₒ a média aritmética, a mediana e a moda desse conjunto de dados, respectivamente. A relação correta de ordem entre essas três medidas é:

(A) m < M < Mₒ.

(B) m = M < Mₒ.

(C) M < m < Mₒ.

(D) Mₒ < M < m.

(E) m < Mₒ = M.

Resolução completa

O que se pede: comparar a média m, a mediana M e a moda Mₒ das notas dos 40 candidatos.

1. Lendo o gráfico, as notas 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 têm frequências 4, 6, 8, 12, 5, 3 e 2, respectivamente. A soma das frequências é 40, como informa o enunciado.

2. A média deve considerar quantas vezes cada nota aparece. Por isso, fazemos uma média ponderada pelas frequências.

3. Como há 40 notas, a mediana é a média entre a 20ª e a 21ª notas na lista ordenada. Até a nota 5 há 4 + 6 + 8 = 18 candidatos. Com os 12 candidatos de nota 6, as posições 19 a 30 são ocupadas pela nota 6. Logo, ambas as posições centrais valem 6 e M = 6.

4. A moda é a nota de maior frequência. A maior frequência é 12 e corresponde à nota 6; portanto, Mₒ = 6. Assim, 5,625 < 6 = 6.

Alternativa E. A relação é m < Mₒ = M.

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Questão 14

Enunciado e alternativas

Um trapézio isósceles possui bases de comprimentos 8 cm e 4 cm. Seus lados não paralelos medem 4 cm. A área desse trapézio, em cm², é:

(A) 4√3

(B) 6√3

(C) 8√3

(D) 10√3

(E) 12√3

Resolução completa

O que se pede: calcular a área do trapézio isósceles de bases 8 cm e 4 cm e lados não paralelos de 4 cm.

1. Traçamos as alturas a partir dos extremos da base menor. Formam-se um retângulo central e dois triângulos retângulos congruentes nas laterais.

2. A diferença entre as bases é 8 − 4 = 4 cm. Como o trapézio é isósceles, essa diferença se divide igualmente entre os dois triângulos: cada cateto horizontal mede 2 cm.

3. Em cada triângulo lateral, a hipotenusa é o lado oblíquo de 4 cm. Aplicando Pitágoras, encontramos a altura h.

4. A área de um trapézio é a média das bases multiplicada pela altura.

Alternativa E. A área é 12√3 cm².

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Questão 15

Enunciado e alternativas

Considere uma função quadrática f(x) = x² + bx + c, cujo gráfico intersecta o eixo x em dois pontos distintos, de abscissas α e β. Sabendo que |α − β| = 4, podemos afirmar que o menor valor assumido por f é:

(A) −6

(B) −4

(C) −3

(D) −2

(E) 0

Resolução completa

O que se pede: determinar o menor valor de f(x) = x² + bx + c, sabendo que suas raízes distintas α e β estão a uma distância 4 uma da outra.

1. Como o coeficiente de x² é 1, a função pode ser escrita na forma fatorada f(x) = (x − α)(x − β). A parábola tem concavidade voltada para cima; logo, o vértice representa seu valor mínimo.

2. A abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes. Denotando-a por v, temos v = (α + β)/2.

3. Avaliamos a função nesse ponto. Os dois fatores são opostos, e cada um tem valor absoluto 2, pois a distância entre as raízes é 4.

4. Não é necessário descobrir α, β, b ou c separadamente. A distância entre as raízes e o coeficiente de x² já determinam a profundidade do vértice.

Alternativa B. O menor valor da função é −4.

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Questão 16

Enunciado e alternativas

Sobre o triângulo de lados 3, 4 e x são feitas as afirmações:

I. O triângulo é acutângulo se, e somente se, √7 < x < 5.

II. O triângulo é retângulo se, e somente se, x = √7 ou x = 5.

III. O triângulo é obtusângulo se, e somente se, 1 < x < √7 ou 5 < x < 7.

É correto o que se afirma em:

(A) II, apenas.

(B) III, apenas.

(C) I e II, apenas.

(D) I e III, apenas.

(E) I, II e III.

Resolução completa

O que se pede: analisar as condições para que um triângulo de lados 3, 4 e x seja acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

1. Antes de classificar os ângulos, verificamos se o triângulo existe. A desigualdade triangular exige que o terceiro lado seja maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois.

2. Para um triângulo de maior lado L, com outros lados p e q, comparamos L² e p² + q². Se L² é menor, o triângulo é acutângulo; se é igual, retângulo; se é maior, obtusângulo. É indispensável identificar o maior lado antes de aplicar esse critério.

3. Quando 1 < x ≤ 4, o maior lado é 4. A comparação é entre 16 e 9 + x². A igualdade ocorre quando x² = 7, isto é, x = √7. Nesse trecho, o triângulo é obtusângulo para 1 < x < √7 e acutângulo para √7 < x ≤ 4.

4. Quando 4 ≤ x < 7, o maior lado é x. Comparamos x² com 3² + 4² = 25. A igualdade ocorre em x = 5. Nesse trecho, o triângulo é acutângulo para 4 ≤ x < 5 e obtusângulo para 5 < x < 7.

5. Unindo os intervalos, obtemos exatamente as três afirmações: acutângulo para √7 < x < 5; retângulo para x = √7 ou x = 5; obtusângulo para 1 < x < √7 ou 5 < x < 7. Os extremos 1 e 7 são excluídos porque não formam triângulos.

Alternativa E. As afirmações I, II e III são verdadeiras.

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Questão 17

Enunciado e alternativas

A soma dos valores reais de x que são soluções da equação |2x − 1| = |4x + 7| é igual a

(A) −8.

(B) −6.

(C) −5.

(D) −4.

(E) −3.

Resolução completa

O que se pede: somar todas as soluções reais de |2x − 1| = |4x + 7|.

1. Dois números reais têm o mesmo módulo quando são iguais ou opostos. Assim, a equação equivale a dois casos, que precisam ser considerados.

2. No primeiro caso, igualamos diretamente as expressões.

3. No segundo caso, uma expressão é o oposto da outra. O sinal negativo deve ser distribuído por todos os termos do segundo membro.

4. Para x = −4, os módulos são ambos 9; para x = −1, são ambos 3. As duas soluções são válidas, e sua soma é −4 + (−1) = −5.

Alternativa C. A soma das soluções é −5.

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Questão 18

Enunciado e alternativas

Quantos naturais existem de 1 até 1000 que são múltiplos de 3 ou 5?

(A) 533.

(B) 510.

(C) 495.

(D) 467.

(E) 437.

Resolução completa

O que se pede: contar os naturais de 1 a 1000 que são múltiplos de 3 ou de 5, incluindo aqueles que são múltiplos de ambos.

1. Há 333 múltiplos de 3, pois 3 × 333 = 999 e o próximo já passa de 1000. Há 200 múltiplos de 5, pois 5 × 200 = 1000.

2. Se somarmos 333 e 200, contaremos duas vezes os números divisíveis simultaneamente por 3 e por 5. Como 3 e 5 são coprimos, esses números são exatamente os múltiplos de 15.

3. Há 66 múltiplos de 15 até 1000: o último é 990, e o próximo é 1005. Pelo princípio da inclusão e exclusão, subtraímos essa contagem uma vez.

Alternativa D. Existem 467 números.

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Questão 19

Enunciado e alternativas

Em uma cidade um taxímetro funciona com uma taxa de embarque de R$ 6,50 e é projetado para cobrar um valor adicional de R$ 4,50 por quilômetro rodado. O valor no taxímetro só é alterado quando o táxi roda exatamente 1 km depois da última alteração e a cobrança é feita exclusivamente pelo visor. Uma viagem de 32,5 km terá um custo de

(A) R$ 96,50

(B) R$ 132,40

(C) R$ 144,50

(D) R$ 150,50

(E) R$ 160,40

Resolução completa

O que se pede: calcular o valor exibido pelo taxímetro após uma viagem de 32,5 km, com taxa inicial de R$ 6,50 e acréscimo de R$ 4,50 a cada quilômetro completo.

1. O detalhe decisivo é que o visor só muda após cada quilômetro completo. Durante o trecho entre 32 km e 33 km, o valor continua sendo o cobrado ao completar 32 km.

2. Portanto, uma viagem de 32,5 km produz 32 acréscimos de R$ 4,50. O meio quilômetro final ainda não produz outro acréscimo.

3. Somamos a taxa de embarque, que é cobrada uma única vez.

4. Multiplicar 32,5 por 4,50 cobraria proporcionalmente a fração de quilômetro, contrariando a regra do visor. A alternativa C, por sua vez, também não inclui corretamente a taxa inicial.

Alternativa D. O custo é R$ 150,50.

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Questão 20

Enunciado e alternativas

Considere a família de funções quadráticas fₖ(x) = x² − 2(k + 2)x + (k + 14), em que k ∈ ℝ. O conjunto dos valores de k para os quais a função fₖ tem dois zeros distintos, ambos maiores que 1 é:

(A) k > 11

(B) 2 < k < 11

(C) k > 4

(D) −3 < k < 11

(E) k < −3 ou k > 11

Resolução completa

O que se pede: encontrar os valores de k para os quais fₖ(x) = x² − 2(k + 2)x + (k + 14) tem duas raízes reais distintas e ambas maiores que 1.

1. Para transformar “maiores que 1” em “positivas”, fazemos t = x − 1, ou seja, x = t + 1. Assim, x > 1 equivale a t > 0. Substituímos e simplificamos.

2. Para que essa equação em t tenha duas raízes reais distintas, o discriminante precisa ser estritamente positivo.

3. Pelas relações de Viète, a soma das raízes em t é 2(k + 1), e o produto é 11 − k. Para duas raízes reais serem positivas, o produto deve ser positivo e a soma também. O produto positivo garante sinais iguais; a soma positiva exclui a possibilidade de ambas serem negativas.

4. Intersectamos as três condições. O trecho k < −5 é incompatível com k > −1. Resta apenas 2 < k < 11, que satisfaz todas as exigências.

5. Em k = 2, o discriminante é zero e as raízes coincidem. Em k = 11, uma raiz em t é zero, de modo que uma raiz em x vale 1. Por isso, os dois extremos são excluídos.

Alternativa B. O conjunto procurado é 2 < k < 11.

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Questão 21

Enunciado e alternativas

Após perceber que seu copo continha uma quantidade de água correspondente a 2/3 de sua capacidade, Michel bebeu 200 mL de água do copo. Em seguida, verificou que a quantidade de água restante correspondia a 1/4 da capacidade do copo. Qual é soma dos algarismos da capacidade total do copo, em mL?

(A) 3

(B) 4

(C) 8

(D) 10

(E) 12

Resolução completa

O que se pede: determinar a capacidade do copo e somar seus algarismos, sabendo que beber 200 mL reduz o conteúdo de 2/3 para 1/4 da capacidade.

1. Seja V a capacidade total, em mL. O volume inicial é 2V/3, e o volume final é V/4. A diferença entre eles corresponde aos 200 mL bebidos.

2. Usamos o denominador comum 12 para subtrair as frações e depois isolamos V.

3. Conferindo: 2/3 de 480 é 320 mL; depois de beber 200 mL, restam 120 mL, exatamente 1/4 de 480.

4. A questão pede a soma dos algarismos, e não a capacidade. Assim, calculamos 4 + 8 + 0 = 12.

Alternativa E. A capacidade é 480 mL e a soma dos algarismos é 12.

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Questão 22

Enunciado e alternativas

A solução da inequação 1/(x − 1) > 1/(x − 2) é dada pelo conjunto

(A) ∅.

(B) ℝ − {1, 2}.

(C) [−2, 1) ∪ (1, +∞).

(D) (1, 2).

(E) (2, +∞).

Resolução completa

O que se pede: resolver 1/(x − 1) > 1/(x − 2).

1. Os denominadores não podem ser zero. Portanto, x ≠ 1 e x ≠ 2. Como o sinal dos denominadores depende de x, não podemos multiplicar a inequação por eles sem analisar esse sinal.

2. Levamos tudo para o primeiro membro e reduzimos a uma única fração.

3. O numerador é sempre negativo. Para que a fração seja positiva, o denominador também deve ser negativo: (x − 1)(x − 2) < 0.

4. Se x < 1, os dois fatores são negativos e o produto é positivo. Se 1 < x < 2, um fator é positivo e o outro negativo; o produto é negativo. Se x > 2, os dois são positivos. Apenas o intervalo entre 1 e 2 satisfaz a condição.

Alternativa D. A solução é o intervalo aberto (1, 2).

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Questão 23

Enunciado e alternativas

Um quadrado ABCD tem lado 4 cm. Seja M o ponto médio do lado AB, e considere o segmento MC. Qual é o valor de sen MĈD?

(A) √5/5

(B) 2√5/5

(C) √3/2

(D) 1/2

(E) 2/√5

Resolução completa

O que se pede: calcular o seno do ângulo MĈD em um quadrado ABCD de lado 4 cm, com M no ponto médio de AB.

1. Nomeamos os vértices consecutivamente e traçamos por M uma perpendicular a CD, encontrando CD em N. Como AB é paralelo a CD, N é o ponto médio de CD. Assim, CN = 2 cm e MN = 4 cm.

2. No triângulo retângulo CMN, a hipotenusa é CM. Pelo teorema de Pitágoras:

3. Os segmentos CN e CD têm a mesma direção a partir de C. Portanto, o ângulo MĈD é o mesmo que MĈN. Seu cateto oposto é MN = 4, e sua hipotenusa é CM = 2√5.

4. A última igualdade resulta da racionalização: multiplicamos numerador e denominador por √5. A alternativa B apresenta 2√5/5, e a alternativa E apresenta 2/√5; são o mesmo número. Logo, há duas alternativas corretas no arquivo.

Alternativas B e E. O seno é 2/√5 = 2√5/5.

Nota editorial: B e E são equivalentes no material reproduzido. Essa constatação não comprova anulação ou decisão oficial do PROFMAT.

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Questão 24

Enunciado e alternativas

Um pirata encontrou um baú com três cofres, escondidos numa ilha. Apenas um dos cofres continha o tesouro, os outros dois continham armadilhas mortais. Em cada cofre havia uma inscrição gravada:

• Cofre I: “O tesouro está neste cofre.”

• Cofre II: “Este cofre não guarda o tesouro.”

• Cofre III: “O tesouro não está no cofre I.”

Sabendo que somente uma das três inscrições é verdadeira, assinale a alternativa que identifica corretamente a inscrição verdadeira e o cofre que contém o tesouro:

(A) I: verdadeira; tesouro em I.

(B) II: verdadeira; tesouro em II.

(C) III: verdadeira; tesouro em II.

(D) III: verdadeira; tesouro em III.

(E) II: verdadeira; tesouro em III.

Resolução completa

O que se pede: descobrir onde está o tesouro e qual inscrição é verdadeira, sabendo que exatamente uma das três inscrições diz a verdade.

1. A inscrição I afirma que o tesouro está no cofre I. A inscrição III afirma que ele não está no cofre I. Essas afirmações são negações uma da outra: uma será verdadeira e a outra falsa, qualquer que seja o cofre escolhido.

2. Portanto, I e III já garantem exatamente uma verdade entre elas. Para que o total de inscrições verdadeiras continue sendo apenas um, a inscrição II precisa ser falsa.

3. A inscrição II diz: “Este cofre não guarda o tesouro”, referindo-se ao cofre II. Se ela é falsa, o cofre II guarda o tesouro.

4. Conferimos o resultado: com o tesouro no cofre II, a inscrição I é falsa; a II também é falsa; e a III é verdadeira, pois o tesouro realmente não está no cofre I. A condição do enunciado é satisfeita.

Alternativa C. A inscrição III é verdadeira e o tesouro está no cofre II.

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Questão 25

Enunciado e alternativas

Considere como unidade de área a área de um triângulo equilátero de lado 1 cm. Nessa unidade, a área de um quadrado de lado 3 cm é igual a:

(A) 12√3

(B) 18√3

(C) 24√3

(D) 32√3

(E) 36√3

Resolução completa

O que se pede: expressar a área de um quadrado de lado 3 cm usando como unidade a área de um triângulo equilátero de lado 1 cm.

1. A área do quadrado, na unidade usual, é 3² = 9 cm².

2. Para um triângulo equilátero de lado a, a altura é a√3/2. Como a área é base vezes altura dividida por 2, obtemos A = a²√3/4. Para a = 1 cm, a nova unidade vale √3/4 cm².

3. Para saber quantas unidades u cabem na área do quadrado, dividimos sua área pelo tamanho da unidade. Não multiplicamos as duas áreas.

Alternativa A. A área do quadrado é 12√3 unidades de área.

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Questão 26

Enunciado e alternativas

Uma urna contém 10 bolas numeradas, das quais 6 são vermelhas. De quantas maneiras podemos retirar 4 bolas, de modo que o número de bolas vermelhas retiradas seja maior ou igual ao número de bolas vermelhas que permanecerão na urna?

(A) 80

(B) 90

(C) 95

(D) 105

(E) 185

Resolução completa

O que se pede: contar as maneiras de retirar 4 bolas de uma urna com 6 vermelhas e 4 de outras cores, exigindo que o número de vermelhas retiradas seja pelo menos o número de vermelhas restantes.

1. Seja r o número de vermelhas retiradas. Como há 6 vermelhas ao todo, ficam 6 − r na urna. A condição é r ≥ 6 − r, isto é, 2r ≥ 6 e r ≥ 3.

2. Como apenas 4 bolas são retiradas, os únicos casos possíveis são r = 3 e r = 4. As bolas são numeradas, portanto distinguíveis. Como a ordem da retirada não é solicitada, usamos combinações.

3. No caso de 3 vermelhas e 1 não vermelha, escolhemos 3 entre as 6 vermelhas e 1 entre as 4 restantes. Multiplicamos porque as duas escolhas compõem a mesma retirada.

4. No caso de 4 vermelhas, basta escolher 4 entre as 6. Os dois casos são distintos e não se sobrepõem, então somamos suas quantidades.

Alternativa C. Existem 95 maneiras.

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Questão 27

Enunciado e alternativas

A figura abaixo mostra três cubos de arestas 1 justapostos.

Qual dos valores abaixo não pertence ao conjunto das medidas dos segmentos AB, AC, DE e DF?

(A) √2

(B) √3

(C) √5

(D) √6

(E) √7

Resolução completa

O que se pede: identificar qual valor não aparece entre as medidas AB, AC, DE e DF, em três cubos justapostos de aresta 1.

1. Adotamos três eixos perpendiculares: comprimento ao longo dos três cubos, profundidade e altura. Colocamos A na origem. A leitura da figura fornece as coordenadas abaixo.

2. Em três dimensões, o quadrado da distância entre dois pontos é a soma dos quadrados das diferenças nas três coordenadas. Essa fórmula resulta de duas aplicações do teorema de Pitágoras.

3. Portanto, o conjunto das medidas é {√2, √3, √5, √6}. Entre as alternativas, o único valor ausente é √7. As inclinações aparentes do desenho em perspectiva não alteram essas distâncias espaciais.

Alternativa E. O valor que não pertence ao conjunto é √7.

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Questão 28

Enunciado e alternativas

Considere números reais a, b e c tais que a/b = 4 e b/c = 3.

Neste caso, [(a + b)/c] + [a/(b + c)] é igual a:

(A) 15/4

(B) 16

(C) 18

(D) 19

(E) 21

Resolução completa

O que se pede: calcular (a + b)/c + a/(b + c), sabendo que a/b = 4 e b/c = 3.

1. As razões dadas exigem b ≠ 0 e c ≠ 0. Da igualdade b/c = 3, obtemos b = 3c. Da igualdade a/b = 4, temos a = 4b = 12c.

2. Escrevemos todos os termos em função de c. Além disso, b + c = 4c ≠ 0, de modo que a expressão procurada está definida.

3. Simplificamos cada fração cancelando o fator não nulo c.

4. Os valores individuais de a, b e c podem variar, mas a expressão depende apenas das proporções entre eles; por isso, o resultado é fixo.

Alternativa C. O valor da expressão é 18.

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Questão 29

Enunciado e alternativas

O valor da expressão [(√(18!) + √(17!))(√18 − 1)] / [17√(16!)] é:

(A) 1/√17

(B) (√18 + 1)²/17

(C) 1

(D) √17

(E) (√18 − 1)/17

Resolução completa

O que se pede: simplificar a expressão com raízes de 18!, 17! e 16!, sem calcular esses fatoriais numericamente.

1. Pela definição de fatorial, 18! = 18 × 17!. Como os fatores são positivos, podemos separar a raiz do produto. Assim, √(18!) = √18 × √(17!).

2. Colocamos √(17!) em evidência na soma do numerador. Em seguida, usamos o produto de conjugados: (u + 1)(u − 1) = u² − 1.

3. Cancelamos o fator 17. Depois, usamos 17! = 17 × 16! para simplificar o quociente de raízes.

Alternativa D. O valor da expressão é √17.

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Questão 30

Enunciado e alternativas

Em um triângulo ABC retângulo em A toma-se um ponto P no interior de BC tal que PC/PB = 2/3. Sabendo que AC = 12 e AB = 16, determine a tangente do ângulo ∠PAC.

(A) 8/9

(B) 7/9

(C) 2/3

(D) 5/9

(E) 1/3

Resolução completa

O que se pede: determinar a tangente do ângulo PÂC em um triângulo retângulo em A, com AC = 12, AB = 16 e PC/PB = 2/3.

1. Colocamos A = (0, 0), B = (16, 0) e C = (0, 12). A razão PC/PB = 2/3 informa que PC representa 2 partes e PB representa 3 partes. Portanto, P fica a 3/5 do percurso de B até C.

2. Interpolamos as coordenadas de B e C para localizar P. Isso equivale a partir de B e percorrer 3/5 do deslocamento até C.

3. Seja N a projeção perpendicular de P sobre AC. Como AC está no eixo vertical, N = (0, 36/5). No triângulo retângulo ANP, temos PN = 32/5 e AN = 36/5.

4. O ângulo PÂC é medido a partir do lado AC, e não de AB. Assim, PN é o cateto oposto e AN é o cateto adjacente. A tangente é a razão entre eles.

5. A razão 9/8 corresponderia à tangente do ângulo entre AP e AB, que é complementar ao ângulo pedido.

Alternativa A. A tangente procurada é 8/9.

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Como revisar a partir dos erros

• Conceito → revisar a ideia: retome a definição, as hipóteses e um exemplo antes de refazer a questão. Na Q8, por exemplo, um contraexemplo distingue uma afirmação falsa de uma verdadeira.
• Estratégia → comparar caminhos: localize o dado decisivo e compare sua abordagem com a resolução. Na Q19, a informação sobre quilômetros completos determina o modelo.
• Cálculo → refazer os passos: confira sinais, operações e unidades. Na Q10, é preciso retirar tanto as emissões dos navios quanto os dois navios da contagem.

Registre a questão, a dificuldade encontrada e a ação de revisão. Depois, tente novamente sem consultar; compreender a conclusão não dispensa reconstruir o raciocínio.

Perguntas frequentes

Por que o ENA 2027 foi realizado em 2026?

O ano 2027 identifica o ingresso no mestrado. A prova de seleção ocorreu em 10 de outubro de 2026, conforme o edital e a página oficial de informações.

Este gabarito do PROFMAT 2027 é oficial?

Não. O caderno é uma reprodução independente; as resoluções e o gabarito da Waldemática são materiais educacionais não oficiais, sujeitos a correções. Consulte os documentos publicados pela organização para conferir a versão oficial.

Onde consultar o edital do ENA 2027?

No edital oficial do ENA 2027 em PDF e nas páginas oficiais indicadas na seção sobre o edital. A análise deste artigo considera o Edital nº 23 com a primeira retificação, em especial o item 4.4.

Quais assuntos apareceram nas questões analisadas?

A classificação principal inclui equações, funções e modelagem; geometria plana e áreas; proporcionalidade e porcentagem; contagem e probabilidade; conjuntos, números e radicais; trigonometria; estatística; raciocínio lógico; geometria espacial; e progressões. A tabela de frequências identifica todas as questões de cada grupo.

Como estudar com esta prova resolvida?

Tente resolver antes de consultar, compare seu raciocínio com a solução, classifique a dificuldade e refaça a questão. Use a relação com o edital para escolher a teoria a revisar, sem descartar conteúdos que não apareceram diretamente nesta amostra.

Por que há duas respostas na questão 23?

Porque, na reprodução, B = 2√5/5 e E = 2/√5 são equivalentes: multiplicando numerador e denominador da segunda fração por √5, obtém-se a primeira. A observação vale para o material fornecido; não representa manifestação da banca nem comprova anulação.

Leia também

Você também pode consultar os cursos gratuitos da Waldemática e acompanhar o canal Waldemática no YouTube.

Use as 30 resoluções para reconhecer dificuldades concretas, rever os conceitos necessários e testar novamente seu raciocínio. O gabarito permite conferir a resposta; a revisão dos passos é o que transforma a prova em material de estudo.

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