Uma das dúvidas mais comuns em função do 2º grau é saber quando usar o x do vértice e quando usar o y do vértice. As duas coordenadas pertencem ao mesmo ponto, mas respondem perguntas completamente diferentes.
A ideia central é simples:
- xᵥ responde quando, em qual posição ou para qual valor de x ocorre o máximo ou o mínimo;
- yᵥ responde qual é o valor máximo ou mínimo atingido pela função.
Se você guardar essa interpretação, as fórmulas deixam de ser uma decoreba solta.
O que é o vértice da parábola?
Em uma função quadrática do tipo f(x) = ax² + bx + c, o gráfico é uma parábola. O vértice é o ponto em que ela atinge seu valor extremo:
- se a > 0, a parábola tem concavidade para cima e o vértice representa um mínimo;
- se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice representa um máximo.
O vértice é escrito como V(xᵥ, yᵥ).
Isso significa que xᵥ e yᵥ não são duas respostas concorrentes. Eles são as duas coordenadas do mesmo ponto.
Quando usar x do vértice?
Use xᵥ quando a pergunta quiser descobrir em qual valor da variável independente ocorre o máximo ou o mínimo.
A fórmula é:
xᵥ = −b/(2a)
Em problemas contextualizados, x pode representar tempo, quantidade, distância, número de unidades, preço, investimento ou qualquer outra grandeza escolhida como variável independente.
Exemplo
O lucro de uma empresa, em milhares de reais, é dado por:
L(x) = −2x² + 40x − 120
Se a pergunta for:
“Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja máximo?”
queremos descobrir para qual x o máximo acontece. Portanto, usamos xᵥ:
xᵥ = −40/(2 · (−2)) = 10
Logo, o lucro máximo ocorre quando x = 10.
Perceba: ainda não calculamos o valor do lucro máximo. Descobrimos apenas quando ele acontece.
Quando usar y do vértice?
Use yᵥ quando a pergunta quiser descobrir qual é o maior ou o menor valor atingido pela função.
Depois de encontrar xᵥ, uma maneira muito prática é calcular:
yᵥ = f(xᵥ)
Também existe a fórmula:
yᵥ = −Δ/(4a)
No exemplo anterior, já encontramos xᵥ = 10. Então:
L(10) = −2 · 10² + 40 · 10 − 120
L(10) = −200 + 400 − 120 = 80
Portanto, o lucro máximo é 80 mil reais.
Aqui usamos yᵥ porque a pergunta é sobre o valor máximo do lucro.
O truque para não confundir xᵥ e yᵥ
Antes de fazer qualquer conta, pergunte:
A questão quer saber quando o extremo acontece ou quanto vale esse extremo?
Se quiser saber quando, onde, em qual quantidade ou para qual x, procure xᵥ.
Se quiser saber quanto vale o máximo ou o mínimo, procure yᵥ.
Uma tabela resume bem:
| A pergunta pede... | Use |
|---|---|
| Em que instante ocorre o máximo? | xᵥ |
| Quantas unidades geram lucro máximo? | xᵥ |
| Qual preço produz receita máxima? | xᵥ |
| Qual é o lucro máximo? | yᵥ |
| Qual é a altura máxima? | yᵥ |
| Qual é o menor custo possível? | yᵥ |
Um exemplo clássico de lançamento vertical
Imagine que a altura de um objeto seja modelada por:
h(t) = −5t² + 20t + 1
Se a pergunta for:
“Depois de quantos segundos o objeto atinge a altura máxima?”
A variável independente é o tempo t. Precisamos encontrar a coordenada horizontal do vértice:
tᵥ = −20/(2 · (−5)) = 2
Então a altura máxima ocorre após 2 segundos.
Agora, se a pergunta for:
“Qual é a altura máxima atingida?”
calculamos:
h(2) = −5 · 2² + 20 · 2 + 1 = 21
Logo, a altura máxima é 21 unidades de comprimento.
A mesma parábola gerou duas respostas diferentes:
- xᵥ = 2 → quando ocorre;
- yᵥ = 21 → quanto vale.
E se a questão já fornecer o gráfico?
Quando o gráfico estiver desenhado, muitas vezes não é necessário usar fórmula alguma.
Basta localizar o vértice:
- a coordenada horizontal é xᵥ;
- a coordenada vertical é yᵥ.
Em uma prova, interpretar corretamente o gráfico pode economizar bastante tempo.
Erros comuns
Usar yᵥ quando a pergunta pede tempo
Se a pergunta pede em quantos segundos, a resposta precisa estar no eixo horizontal. Portanto, queremos xᵥ.
Usar xᵥ quando a pergunta pede lucro máximo
O xᵥ indica a quantidade que produz o lucro máximo. O valor do lucro é yᵥ.
Calcular apenas a fórmula sem interpretar a unidade
Uma resposta como “10” pode representar 10 segundos, 10 produtos, R$ 10 ou 10 metros. Sempre volte ao enunciado para identificar o significado da variável.
Como esse assunto aparece no ENEM e nos vestibulares?
É comum a prova apresentar uma função quadrática dentro de uma situação de:
- lucro e receita;
- altura de um objeto;
- área máxima;
- custo mínimo;
- produção;
- trajetória parabólica;
- otimização em geral.
A conta costuma ser curta. O que separa o acerto do erro é entender o que a coordenada x e a coordenada y representam no contexto.
Se você quiser aprofundar o assunto, leia também o artigo sobre vértice da parábola no ENEM e a revisão de função do 2º grau.
Resumo final
Em qualquer parábola, o vértice é V(xᵥ, yᵥ).
- xᵥ = −b/(2a) indica onde ou quando ocorre o máximo ou mínimo;
- yᵥ = f(xᵥ) indica qual é o valor máximo ou mínimo;
- antes de calcular, traduza a pergunta para descobrir qual coordenada ela está pedindo.
Essa pequena interpretação resolve boa parte das dúvidas de máximo e mínimo em função quadrática.