Imagine a seguinte cena de fim de ano: um grupo de amigos coloca os nomes em uma urna e cada participante retira um papel para o tradicional amigo secreto. Qual é a probabilidade de que absolutamente ninguém tire o próprio nome?
A pergunta parece simples, mas esconde um detalhe importante: não basta embaralhar os nomes. Precisamos garantir que todos mudem de posição. Na Matemática, esse tipo de situação é estudado por meio da permutação caótica, também chamada de desarranjo.
Neste artigo, você vai entender o conceito sem depender de decoreba, aprender a fórmula e acompanhar a resolução de uma questão da Fuvest 2017. Vamos também descobrir por que, mesmo com muitos participantes, a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome fica próxima de 36,8%.
Se você quiser revisar os fundamentos antes de começar, confira nosso guia de Análise Combinatória: quando usar P.F.C., permutação ou combinação?.
O que é permutação caótica (desarranjo)?
Uma permutação caótica é uma reordenação de elementos distintos na qual nenhum elemento permanece na posição que ocupava originalmente.
Pense em quatro cartas numeradas de 1 a 4 e quatro envelopes com os mesmos números. Se cada carta deve entrar em um envelope diferente do seu, estamos diante de um problema de desarranjo.
O número de permutações caóticas de n elementos é representado por D(n). Outra notação encontrada em livros é !n, chamada de subfatorial.
O exemplo dos anagramas de AMOR
A palavra AMOR tem quatro letras distintas e, portanto, admite 4! = 24 anagramas. Mas quantos deles não mantêm nenhuma letra na posição original?
Compare a ordem inicial A M O R com alguns exemplos:
| Anagrama | É caótico? | Por quê? |
|---|---|---|
| R O M A | Sim | Todas as letras mudaram de posição. |
| M O R A | Sim | Nenhuma letra ocupa sua posição original. |
| R A M O | Sim | As quatro letras estão em posições diferentes das iniciais. |
| A O M R | Não | A e R permaneceram nas posições originais. |
| M A O R | Não | O e R permaneceram nas posições originais. |
Dos 24 anagramas possíveis, apenas 9 obedecem à restrição. Em linguagem matemática, escrevemos D(4) = 9. Daqui a pouco você verá como chegar a esse resultado sem listar os 24 casos.
Atenção à diferença: na permutação simples, contamos todas as reordenações possíveis; na permutação caótica, excluímos qualquer reordenação que deixe pelo menos um elemento no lugar original.
Uma curiosidade histórica: o problema das coincidências de posição foi estudado pelo francês Pierre Rémond de Montmort, no início do século XVIII, em jogos de cartas. Posteriormente, matemáticos como Leonhard Euler contribuíram para o desenvolvimento das relações usadas no cálculo dos desarranjos.
Fórmula da permutação caótica: como calcular D(n)
Se temos n elementos distintos, existem n! permutações no total. Para contar apenas aquelas em que ninguém permanece no lugar certo, usamos a fórmula:
D(n) = n! × [1/0! − 1/1! + 1/2! − 1/3! + ... + (−1)ⁿ/n!]
Como 0! = 1 e 1! = 1, os dois primeiros termos se anulam (1 − 1 = 0). Assim, para n ≥ 2, a expressão fica mais prática:
D(n) = n! × [1/2! − 1/3! + 1/4! − ... + (−1)ⁿ/n!]
O segredo é perceber que os sinais se alternam: positivo, negativo, positivo, negativo..., até o termo de denominador n!.
Vamos testar para três elementos:
D(3) = 3! × [1/2! − 1/3!]
D(3) = 6 × [1/2 − 1/6] = 6 × 2/6 = 2
E quais são as duas permutações caóticas da sequência original 1, 2, 3? Exatamente (2, 3, 1) e (3, 1, 2). Observe que nenhuma posição conserva seu número inicial.
De onde vêm os sinais alternados?
Eles aparecem por causa do Princípio da Inclusão-Exclusão. Em vez de contar diretamente as permutações corretas, partimos de todas as n! possibilidades e retiramos aquelas em que pelo menos um elemento fica no lugar original.
Só que há um cuidado: ao subtrair os casos com um elemento fixo, os casos com dois elementos fixos podem ser descontados mais de uma vez. Então precisamos somá-los novamente. Depois corrigimos os casos com três elementos fixos, e assim por diante.
É justamente essa sequência de subtrações e adições que produz a fórmula. Também explica por que não funciona simplesmente fazer (n − 1) × (n − 2) × ...: a quantidade de opções para cada posição depende das escolhas anteriores.
Tabela de valores de D(n)
| n | Total de permutações (n!) | Permutações caóticas D(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 6 | 2 |
| 4 | 24 | 9 |
| 5 | 120 | 44 |
| 6 | 720 | 265 |
Vale guardar especialmente os valores D(3) = 2, D(4) = 9 e D(5) = 44. Eles ajudam muito em exercícios com poucos elementos.
Atalho para cálculos sucessivos: existe também a relação D(n) = n × D(n − 1) + (−1)ⁿ, válida para n ≥ 2. Por exemplo, conhecendo D(4) = 9, obtemos D(5) = 5 × 9 − 1 = 44 sem abrir novamente todos os fatoriais.
Por convenção combinatória, D(0) = 1: existe uma única permutação do conjunto vazio. Já D(1) = 0, porque um único elemento não pode sair de sua posição sem haver outro lugar para ocupar.
Amigo secreto e o número de Euler: por que 36,8%?
Voltemos à pergunta da introdução. Em um amigo secreto com n participantes, há n! maneiras de distribuir os nomes, supondo que todas sejam igualmente prováveis. Dessas, D(n) são sorteios em que ninguém tira o próprio nome.
Portanto:
P(n) = D(n) / n!
Veja o que acontece conforme o número de participantes aumenta:
| Participantes | Cálculo | Probabilidade de ninguém tirar o próprio nome |
|---|---|---|
| 2 | 1/2 | 50% |
| 3 | 2/6 | 33,33% |
| 4 | 9/24 | 37,50% |
| 5 | 44/120 | 36,67% |
| 6 | 265/720 | 36,81% |
Surpreendente, não é? Os valores oscilam, mas se aproximam rapidamente de um número especial:
1/e ≈ 0,367879 = 36,79%, em que e ≈ 2,71828 é o número de Euler.
Para um grupo suficientemente grande, a chance de ninguém tirar o próprio nome fica muito próxima de 36,8%. A probabilidade complementar — pelo menos uma pessoa tirar o próprio nome — fica próxima de 63,2%.
Isso não significa que qualquer sorteio com cinco ou seis pessoas terá exatamente essa probabilidade-limite; a tabela mostra as diferenças. E lembre-se: estamos considerando um sorteio aleatório e sem reposição, sem refazer o sorteio quando alguém tira o próprio nome.
Questão resolvida: Fuvest 2017 — amigo secreto
A primeira fase da Fuvest 2017 (questão 83) trouxe justamente uma aplicação desse conceito:
(Fuvest 2017) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é:
a) 1/4
b) 7/24
c) 1/3
d) 3/8
e) 5/12
Resolução passo a passo
1. Calcular o total de resultados possíveis. São quatro pessoas e quatro nomes, retirados sem reposição. Assim, o espaço amostral possui:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 resultados.
2. Contar os resultados favoráveis. Queremos que ninguém tire o próprio nome: é um desarranjo de quatro elementos.
D(4) = 4! × [1/2! − 1/3! + 1/4!]
D(4) = 24 × [1/2 − 1/6 + 1/24]
D(4) = 24 × [(12 − 4 + 1)/24] = 9
Portanto, há 9 sorteios favoráveis entre os 24 possíveis.
3. Calcular a probabilidade. Basta dividir casos favoráveis pelo total de casos:
P = 9/24 = 3/8 = 37,5%.
Gabarito: alternativa D.
Perceba a lógica: a questão pediu uma probabilidade, não apenas uma quantidade de permutações caóticas. Por isso, não bastava responder D(4) = 9; era preciso dividir por 4!.
Para visualizar a montagem dos casos na lousa e acompanhar a resolução comentada, assista à nossa aula:
Vídeo Waldemática: Permutação Caótica e Fuvest 2017 — Amigo Secreto
Se quiser praticar o uso de casos favoráveis e espaço amostral em outros contextos, aproveite também nossa lista de exercícios de probabilidade.
Desarranjo parcial: e se alguns elementos ficarem no lugar certo?
Nem toda questão exige que todos mudem de posição. Às vezes, o enunciado pede que exatamente k elementos permaneçam nos seus lugares originais.
O raciocínio é simples e ocorre em duas etapas:
- Escolher os k elementos que ficarão na posição correta, usando uma combinação: C(n, k).
- Desarranjar os n − k elementos restantes, usando D(n − k).
Logo:
Quantidade com exatamente k elementos fixos = C(n, k) × D(n − k)
Exemplo: cinco relatórios distintos serão distribuídos em cinco envelopes identificados. De quantos modos exatamente dois relatórios podem ir para seus envelopes corretos?
Primeiro, escolhemos os dois que ficarão certos:
C(5, 2) = 10.
Depois, os três relatórios restantes precisam estar todos em envelopes errados:
D(3) = 2.
Multiplicando as etapas, obtemos:
C(5, 2) × D(3) = 10 × 2 = 20 maneiras.
Esse é um exemplo de como a combinação e a permutação caótica podem trabalhar juntas no mesmo problema.
Três cuidados para não errar na prova
1. Não confunda “nenhum no lugar certo” com “nem todos no lugar certo”. No primeiro caso, usamos D(n). No segundo, basta excluir a única permutação idêntica à original, obtendo n! − 1.
2. Não tente usar uma multiplicação automática de opções. As escolhas de uma posição afetam as outras. Se a contagem direta se complicar, use a fórmula do desarranjo.
3. Leia se a pergunta é de contagem ou de probabilidade. “De quantas maneiras?” pede D(n); “qual é a probabilidade?” pede D(n)/n!, desde que todas as permutações sejam igualmente prováveis.
Resumo: o que lembrar sobre permutação caótica
A permutação caótica é a ferramenta certa quando uma questão de anagramas, cartas, envelopes ou amigo secreto exige que nenhum elemento mantenha a posição original. Para encontrar a quantidade de casos, usamos D(n); para calcular a probabilidade em uma distribuição aleatória, usamos D(n)/n!.
A fórmula pode parecer trabalhosa à primeira vista, mas os exemplos mostram a ideia central: partimos das permutações possíveis e retiramos, com cuidado, as que apresentam coincidências de posição. É a mesma lógica que aparece na inclusão-exclusão.
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