No segundo dia do ENEM, o candidato enfrenta 45 questões de Matemática. Conhecer as principais fórmulas ajuda, mas simplesmente decorá-las não resolve o problema.
O ENEM costuma apresentar a Matemática dentro de situações contextualizadas: terrenos, embalagens, gráficos, pesquisas, financiamentos, consumo, produção, distâncias e muitas outras situações do cotidiano.
Por isso, a fórmula não deve ser tratada como o ponto de partida. Primeiro é preciso entender o problema, identificar as grandezas envolvidas e só então escolher a ferramenta matemática adequada.
Neste resumo estratégico, reunimos algumas das principais fórmulas de Matemática para o ENEM, organizadas por assunto, explicando quando usar cada uma e destacando erros frequentes.
Se você também quiser organizar sua revisão por conteúdos, consulte nosso artigo sobre os 10 assuntos que mais caem em Matemática no ENEM.
1. Razão, proporção, porcentagem e escala
Grande parte das questões de Matemática do ENEM exige domínio de relações proporcionais. Antes de procurar uma fórmula complicada, verifique se o problema pode ser resolvido com razão, proporção ou porcentagem.
Proporção
Se duas razões são equivalentes:
então:
Essa relação está por trás da conhecida regra de três.
Antes de multiplicar, porém, verifique a relação entre as grandezas.
- Diretamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção.
- Inversamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra diminui proporcionalmente.
O erro clássico é montar automaticamente uma regra de três sem analisar essa relação.
Porcentagem
Para aumentar um valor em P%:
Exemplo: aumento de 20%:
Para diminuir um valor em P%:
Exemplo: desconto de 30%:
Em aumentos ou descontos sucessivos, não some simplesmente as porcentagens. Trabalhe com os fatores multiplicativos.
Escala
Em mapas, plantas e maquetes:
As duas medidas precisam estar na mesma unidade antes da divisão.
Essa conversão é uma das principais fontes de erro em questões de escala.
Juros simples e compostos
Nos juros simples:
e:
Nos juros compostos:
Em que:
- M = montante;
- C = capital inicial;
- i = taxa de juros em forma decimal;
- n = número de períodos.
A taxa e o tempo precisam estar na mesma unidade. Uma taxa mensal, por exemplo, deve ser combinada com um número de meses.
2. Estatística e probabilidade
Estatística e probabilidade fazem parte da Matriz de Referência do ENEM e frequentemente aparecem associadas à leitura de tabelas, gráficos, pesquisas e situações cotidianas.
Média, moda e mediana
Média aritmética
Média ponderada
Moda
É o valor que ocorre com maior frequência.
Um conjunto pode:
- não possuir moda;
- possuir uma única moda;
- possuir duas modas, sendo chamado de bimodal;
- possuir mais de duas modas.
Mediana
Primeiro, coloque os dados em ordem.
Se a quantidade de valores for ímpar, a mediana é o termo central.
Se for par, será a média dos dois termos centrais.
Esse detalhe aparece com frequência em erros de resolução: tentar localizar a mediana antes de ordenar os dados.
Probabilidade
Em situações equiprováveis:
Para eventos independentes:
Quando os eventos não são independentes, é preciso considerar a probabilidade condicional.
Para a união de dois eventos:
Se os eventos forem mutuamente exclusivos, não existe interseção e a expressão fica:
Erro frequente: em retiradas sucessivas sem reposição, esquecer que o número total de elementos muda depois da primeira retirada.
3. Funções e progressões
Quando o problema apresenta grandezas que variam entre si, sequências, crescimento, redução, máximos ou mínimos, funções e progressões podem aparecer.
Progressão Aritmética — PA
A PA possui uma diferença constante entre termos consecutivos.
Termo geral:
Soma dos n primeiros termos:
Progressão Geométrica — PG
Na PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
Termo geral:
Função afim
Em que:
- a determina a inclinação da reta;
- b é o valor de f(x) quando x = 0.
Em problemas contextualizados, b pode representar um valor inicial ou uma parcela fixa.
Função quadrática
Para encontrar as raízes:
Em problemas de máximo ou mínimo, o vértice da parábola é particularmente importante.
Coordenada x do vértice:
Coordenada y:
Se o problema pergunta quando ou para qual quantidade ocorre um máximo ou mínimo, normalmente interessa xᵥ.
Se pergunta qual é o valor máximo ou mínimo, normalmente interessa yᵥ.
4. Geometria Plana
Questões de Geometria no ENEM frequentemente combinam figuras e exigem que o estudante decomponha uma região em formas conhecidas.
Para aprofundar esse conteúdo, consulte nosso material sobre Áreas de Figuras Planas.
Retângulo
Quadrado
Triângulo
Triângulo equilátero
Paralelogramo
Trapézio
Losango
Círculo
Comprimento da circunferência
Um cuidado essencial é distinguir circunferência, que representa o contorno, de círculo, que representa a região interna.
5. Teorema de Pitágoras e Trigonometria
No triângulo retângulo:
Ou, utilizando letras:
em que c representa a hipotenusa.
Para um ângulo θ:
Também vale conhecer — ou saber deduzir rapidamente — os valores das razões trigonométricas dos ângulos de 30°, 45° e 60°.
O ponto mais importante, entretanto, continua sendo identificar corretamente qual lado é oposto e qual é adjacente em relação ao ângulo escolhido.
6. Geometria Espacial
O ENEM apresenta com frequência reservatórios, embalagens, caixas, tanques e outros objetos tridimensionais.
Para estudar o assunto com mais profundidade, veja nosso artigo sobre Volume de Sólidos Geométricos no ENEM.
Prisma
Cilindro
Paralelepípedo retângulo
Pirâmide
Cone
Um cone e um cilindro que possuem a mesma área de base e a mesma altura apresentam uma relação simples:
A mesma relação ocorre entre uma pirâmide e um prisma de mesma área da base e mesma altura.
Esfera
Conversão entre volume e capacidade
Uma relação extremamente útil é:
e:
Antes de comparar volumes ou capacidades, confira sempre as unidades.
Para visualizar melhor como as fórmulas de áreas e volumes dos sólidos se relacionam, assista à aula Volumes e Áreas dos Sólidos (Fórmulas) | Waldemática:
7. Geometria Analítica
No plano cartesiano, uma das relações fundamentais é a distância entre dois pontos.
Dados:
e:
temos:
Essa expressão nada mais é do que uma aplicação do Teorema de Pitágoras no plano cartesiano.
Preciso decorar todas essas fórmulas?
Não.
O ideal é separar as fórmulas em três grupos:
Fórmulas que vale memorizar
São relações utilizadas com frequência e que precisam estar disponíveis rapidamente, como:
- áreas das principais figuras;
- volumes;
- média;
- probabilidade básica;
- Pitágoras;
- seno, cosseno e tangente;
- vértice da parábola.
Fórmulas que podem ser compreendidas ou deduzidas
Algumas relações ficam muito mais fáceis quando você entende sua origem.
Por exemplo, o volume de um prisma é:
área da base × altura
A partir dessa estrutura, não é necessário decorar separadamente uma fórmula completamente nova para cada tipo de prisma.
Fórmulas que a própria questão pode tornar desnecessárias
O ENEM não apresenta um formulário geral de Matemática para ser consultado durante a prova. Entretanto, determinadas questões podem fornecer dados, relações ou informações suficientes para que uma fórmula específica não precise ser lembrada isoladamente.
Por isso, compreender o problema continua sendo mais importante do que colecionar fórmulas.
Erros comuns ao usar fórmulas no ENEM
Conhecer uma fórmula não impede erros de interpretação.
Fique atento principalmente a estes pontos:
- usar unidades diferentes na mesma operação;
- confundir raio com diâmetro;
- esquecer o /3 no volume de cones e pirâmides;
- utilizar porcentagens sucessivas como se pudessem ser simplesmente somadas;
- calcular mediana sem ordenar os dados;
- confundir área com perímetro;
- confundir área com volume;
- escolher xᵥ quando a questão pede yᵥ;
- esquecer que uma retirada sem reposição altera a probabilidade seguinte;
- montar uma regra de três sem verificar se as grandezas são diretas ou inversas.
FAQ: fórmulas de Matemática para o ENEM
Preciso decorar todas as fórmulas de Matemática para o ENEM?
Não. É mais eficiente dominar as relações fundamentais dos assuntos mais importantes e compreender de onde vêm algumas fórmulas. Isso reduz a quantidade de informação que precisa ser memorizada.
O ENEM fornece as fórmulas na prova?
Não existe um formulário geral de Matemática entregue ao candidato. Algumas questões, porém, podem fornecer informações ou relações específicas necessárias para a resolução. Por isso, não é uma boa estratégia depender disso.
Qual é a melhor maneira de memorizar fórmulas?
Aplicá-las.
Uma fórmula utilizada em diversos problemas contextualizados tende a ser lembrada com muito mais facilidade do que uma fórmula apenas copiada várias vezes.
Como saber qual fórmula usar?
Antes de procurar uma fórmula, identifique:
- o que a questão fornece;
- o que ela pede;
- quais grandezas estão relacionadas;
- quais unidades aparecem;
- qual conteúdo matemático representa essa relação.
Esse processo costuma ser mais importante do que a própria substituição dos números na fórmula.
Próximos passos
Um resumo de fórmulas é útil para revisão, mas não substitui a resolução de questões.
Pegue cada bloco deste artigo e pratique com problemas contextualizados. É nessa etapa que você aprende a reconhecer quando cada relação matemática realmente deve ser utilizada.
Se quiser organizar sua preparação com uma sequência estruturada de conteúdos, exercícios e revisões, conheça o Extensivo Waldemática.
Você também pode começar pelos Cursos Gratuitos Waldemática.
As fórmulas são ferramentas. No ENEM, o diferencial está em entender o problema e escolher a ferramenta certa.