Você está no meio da prova do ENEM, o tempo está correndo, e você se depara com a fração 4572 / 36. Você começa a suar. Dá para simplificar isso? Por 2, você sabe que dá, afinal são pares. Mas será que dá por 3? E por 4? Por 9?
Fazer divisões por tentativa e erro é um ralo por onde escorre o tempo da sua prova. É exatamente para tapar esse buraco que existem os critérios de divisibilidade.
Aqui no Waldemática, nós não gostamos de tabelas gigantes para decorar sem entender. Os critérios de divisibilidade são ferramentas lógicas. Quando você entende as "famílias" dessas regras, você ganha agilidade e segurança na hora de fatorar números, calcular frações ou encontrar o MMC e o MDC.
Neste guia, você vai aprender os principais critérios de divisibilidade usados em exercícios e provas. Você vai entender por que alguns deles funcionam e, o mais importante, vai aprender a resolver aqueles exercícios chatinhos que escondem um algarismo no meio do número e pedem para você descobrir quem ele é. Vamos juntos?
O que significa "ser divisível"?
Antes de mergulharmos nas regras, precisamos combinar o básico. Na Matemática, quando dizemos que um número A é divisível por um número B, significa que a divisão de A por B é exata. Ou seja, o resto da divisão é zero.
Se 12 ÷ 3 = 4 e o resto é 0, então:
- 12 é divisível por 3.
- 12 é múltiplo de 3.
- 3 é divisor de 12.
Nossa missão com os critérios de divisibilidade é descobrir se esse "resto é zero" apenas olhando para o número, sem precisar armar a conta inteira no papel.
As Famílias da Divisibilidade
Para facilitar o aprendizado, vamos agrupar as regras de divisibilidade em três "famílias" principais.
Família 1: Olhe apenas para o final (Regras do 2, 4, 8, 5 e 10)
O nosso sistema numérico tem base 10. Por causa disso, muitos números podem ser testados apenas analisando o seu final.
Divisibilidade por 2
A regra: Todo número par é divisível por 2. Como testar: Olhe para o último algarismo. Se ele terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, o número é divisível por 2.
- Exemplo: 3.456 é divisível por 2, pois termina em 6.
Divisibilidade por 5
A regra: Olhe o último algarismo. Ele deve ser 0 ou 5.
- Exemplo: 14.895 é divisível por 5 (termina em 5). Já 237 não é.
Divisibilidade por 10
A regra: O número deve terminar obrigatoriamente em 0.
- Exemplo: 4.500 é divisível por 10.
Divisibilidade por 4
A regra: Olhe apenas para os dois últimos algarismos. Se o número formado por eles for divisível por 4, o número inteiro será. E se terminar em 00, também é divisível. Por que funciona? Porque 100 é divisível por 4 (100 ÷ 4 = 25). Então, centenas, milhares e milhões sempre serão divisíveis por 4. A única parte que "sobra" e precisa ser testada são as dezenas e as unidades finais.
- Exemplo: 5.472. Olhe só para o 72. Sabemos que 72 ÷ 4 = 18. Como 72 dá para dividir, 5.472 inteiro também dá!
Divisibilidade por 8
A regra: Olhe para os três últimos algarismos. Se o número formado por eles for divisível por 8 (ou se terminar em 000), o número grandão também será. Por que funciona? Pela mesma lógica! 1.000 é divisível por 8 (dá 125). Então a parte dos milhares não importa, só precisamos testar a centena, a dezena e a unidade finais.
- Exemplo: 43.120. Olhe o 120. Como 120 ÷ 8 = 15, o número 43.120 é divisível por 8.
Família 2: Some tudo (Regras do 3 e do 9)
Aqui, a brincadeira muda. Não adianta olhar só para o final. Você precisa somar os "pedacinhos" do número.
Divisibilidade por 3
A regra: Um número é divisível por 3 se a soma de todos os seus algarismos der um resultado que seja múltiplo de 3.
- Exemplo: Vamos testar o número 471. Somando: 4 + 7 + 1 = 12. Como 12 está na tabuada do 3, então 471 é divisível por 3.
Divisibilidade por 9
A regra: Idêntica à do 3. Some os algarismos. Se o resultado for múltiplo de 9, o número será divisível por 9.
- Exemplo: 6.885. Somando: 6 + 8 + 8 + 5 = 27. Como 27 é múltiplo de 9 (9 × 3), então 6.885 é divisível por 9.
Por que a soma funciona para o 3 e para o 9? Isso acontece porque escrevemos números na base 10. Pense no número 10. Ele é igual a 9 + 1. Pense no 100. Ele é 99 + 1. Pense no 1000. Ele é 999 + 1. Note que 9, 99 e 999 são todos múltiplos perfeitos de 3 e de 9! Portanto, quando você decompõe um número, toda a parte de "base 10" já é divisível por 3 e por 9. O que "sobra" como resto é exatamente o valor de cada algarismo isolado. Por isso, somamos esses algarismos para ver se o que "sobrou" forma um múltiplo válido. A matemática é linda, não é?
Família 3: Misture as regras (Regras Combinadas)
Podemos combinar critérios quando os fatores são coprimos, isto é, quando o único divisor positivo comum entre eles é 1. Como 6 = 2 × 3 e 2 e 3 são coprimos, um número é divisível por 6 quando é simultaneamente divisível por 2 e por 3.
Divisibilidade por 6
A regra: Para ser divisível por 6, o número deve passar em dois testes ao mesmo tempo: ele precisa ser divisível por 2 E divisível por 3. Ou seja: tem que ser par (terminar em 0, 2, 4, 6, 8) e a soma de seus algarismos tem que estar na tabuada do 3.
- Exemplo: O número 318. Teste 1 (Divisível por 2?): Sim, termina em 8, é par. Teste 2 (Divisível por 3?): 3 + 1 + 8 = 12. O 12 é múltiplo de 3. Passou nos dois! Portanto, 318 é divisível por 6.
Aviso de Erro Comum: Muitos estudantes acham que se um número é divisível por 3, ele automaticamente será por 6. Mentira! O número 9 é divisível por 3, mas não é par, então não divide por 6. Tem que passar nos dois testes obrigatórios.
A Regra Diferentona: Divisibilidade por 11
A regra do 11 assusta num primeiro momento, mas depois que você pega a manha, ela vira um truque muito legal.
A regra: Pegue os algarismos do número, da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda, tanto faz) e vá alternando os sinais: o primeiro é positivo (+), o segundo negativo (−), o terceiro positivo (+), e assim por diante. Faça a conta. Se o resultado der 0 ou for um múltiplo de 11 (como 11, −11, 22...), o número original é divisível por 11.
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Exemplo: 8.635 é divisível por 11? Monte a conta com sinais alternados:
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8 − 6 + 3 − 5 Resolvendo: 8 − 6 = 2. Depois 2 + 3 = 5. E por fim, 5 − 5 = 0. Deu zero! Então 8.635 é divisível por 11.
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Exemplo 2: 9.174 Conta: + 9 − 1 + 7 − 4 Resolvendo: 9 − 1 = 8. Depois 8 + 7 = 15. E 15 − 4 = 11. O resultado foi 11. Logo, 9.174 é divisível por 11.
Descobrindo algarismos desconhecidos: O Terror dos Vestibulares
É aqui que as bancas separam os candidatos que decoraram uma tabela daqueles que realmente entenderam como os critérios de divisibilidade funcionam.
Questão no estilo ENEM (Autoral Waldemática) Considere o número de quatro algarismos 34x5, em que 'x' é o algarismo das dezenas. Qual deve ser o valor de 'x' para que esse número seja divisível por 9?
Resolução Passo a Passo:
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Interpretar a regra: Para um número ser divisível por 9, a soma de seus algarismos deve ser múltiplo de 9.
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Montar a equação: Somamos tudo o que temos.
Soma = 3 + 4 + x + 5
Soma = 12 + x
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Procurar os múltiplos: Quais são os múltiplos de 9? (9, 18, 27, 36...).
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Testar:
Se 12 + x precisar dar 9, o x seria negativo. Não existe algarismo negativo no meio do número.
Se 12 + x precisar dar 18:
12 + x = 18 ➔ x = 18 − 12 ➔ x = 6.
Se tentarmos o próximo múltiplo, que é 27:
12 + x = 27 ➔ x = 15. Como 'x' é apenas UM algarismo (de 0 a 9), 15 não serve.
Conclusão: O único valor possível para o algarismo desconhecido é 6. O número é 3.465.
Para onde as regras te levam?
Dominar os critérios de divisibilidade não serve apenas para facilitar divisões em frações gigantes. É a habilidade primária que você precisa para dominar temas ainda mais densos, como:
- Fatoração em Números Primos: Sem divisibilidade, você chuta os números na linha da fatoração e perde tempo.
- Cálculo Rápido: Para dominar operações, veja nosso guia em Como Calcular MMC e MDC: Guia Definitivo e Sem Chatice para o ENEM.
- Expressões Algébricas: A base de simplificação ajuda muito lá na frente. Leia mais sobre Por que Produtos Notáveis e Fatoração são tão importantes para o Vestibular?.
- Domínio dos Conjuntos: Reconhecer múltiplos e divisores te situa melhor no universo dos números inteiros e naturais. Veja o artigo Conjuntos Numéricos e Intervalos: o Guia para Não Confundir no ENEM.
O Próximo Passo
Se você chegou até aqui e entendeu a lógica por trás de cada critério — desde cortar o número pela metade e olhar só os dois últimos algarismos na regra do 4, até fazer a dança dos sinais alternados na regra do 11 —, você já está na frente de muita concorrência.
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