Hoje, se alguém quisesse medir a altura da Grande Pirâmide de Quéops, poderia usar laser, imagens de satélite, drones ou algum equipamento sofisticado.
Mas imagine fazer isso há mais de dois mil anos.
Sem drone.
Sem calculadora.
Sem fita métrica de 150 metros.
E, principalmente, sem a menor intenção de subir até o topo carregando uma régua.
Foi diante de um problema desse tipo que a tradição matemática colocou Tales de Mileto, um dos nomes mais famosos da geometria antiga.
E a ferramenta principal dele teria sido algo que estava disponível gratuitamente para qualquer pessoa no Egito:
a sombra.
A história é ótima porque mostra uma característica poderosa da Matemática: muitas vezes, resolver um problema difícil não significa medir diretamente aquilo que queremos descobrir.
Significa encontrar outra coisa que podemos medir e construir uma relação entre as duas.
É exatamente aí que entram as proporções e a semelhança de triângulos.
A história de Tales e a Pirâmide de Quéops
Existe mais de uma versão antiga sobre como Tales teria determinado a altura de uma pirâmide.
Por isso, vale uma observação importante: não estamos diante de um relatório científico escrito pelo próprio Tales explicando o procedimento passo a passo.
Estamos falando de uma tradição histórica transmitida posteriormente sobre o matemático grego.
Uma das versões mais conhecidas conta que Tales colocou um bastão verticalmente no solo e observou sua sombra ao longo do dia.
Em determinado instante, percebeu uma situação especialmente conveniente:
o comprimento da sombra do bastão ficou igual à altura do próprio bastão.
Imagine um bastão de 2 metros.
Quando a sombra dele também mede 2 metros, forma-se um triângulo retângulo cujos dois catetos possuem a mesma medida.
Nesse instante, o raio solar forma aproximadamente um ângulo de 45° com o solo.
A ideia atribuída a Tales seria simples e brilhante:
se naquele momento a sombra de um objeto vertical tem o mesmo comprimento de sua altura, então poderíamos usar a sombra da pirâmide para determinar sua altura.
O problema gigantesco tinha acabado de virar uma medição no chão.
Nada mal para uma época em que ninguém podia abrir a calculadora do celular.
A ideia é ainda mais poderosa do que essa história sugere
Existe um detalhe interessante.
Não precisamos esperar um instante específico no qual:
altura = sombra
A Matemática permite resolver o problema praticamente em qualquer horário adequado.
Para isso, usamos triângulos semelhantes.
O segredo está nos raios solares.
O Sol está tão distante da Terra que, para esse tipo de problema escolar, podemos considerar que seus raios chegam praticamente paralelos.
Quando esses raios atingem dois objetos verticais no mesmo local e no mesmo instante, formamos dois triângulos com os mesmos ângulos.
Um triângulo pode ser enorme, formado pela pirâmide.
O outro pode ser pequeno, formado por um simples bastão.
Os tamanhos mudam.
A forma permanece.
É exatamente isso que caracteriza a semelhança.
Se quiser aprofundar os casos AA, LAL e LLL, razão de semelhança e relação entre áreas, consulte nosso guia completo de semelhança de triângulos.
Aqui, nosso objetivo é usar essa ideia para resolver o problema de Tales.
A proporção que transforma sombras em alturas
Vamos chamar:
- H = altura do objeto maior;
- S = comprimento da sombra do objeto maior;
- h = altura do objeto menor;
- s = comprimento da sombra do objeto menor.
Como os triângulos são semelhantes, temos:
Essa pequena proporção é o coração do problema.
Observe a correspondência:
altura maior ÷ sombra maior = altura menor ÷ sombra menor
Não existe mágica.
Existe proporcionalidade.
E quando encontramos uma grandeza desconhecida dentro de uma proporção, entramos em um território bastante conhecido pelos estudantes:
regra de três.
Tales transformou uma construção gigantesca em algo que poderia ser resolvido comparando quatro medidas.
Um exemplo no espírito da Pirâmide de Quéops
Imagine que uma grande construção projete uma sombra de 60 metros.
No mesmo instante, um bastão de 2 metros de altura projeta uma sombra de 0,8 metro.
Chamando a altura da construção de H:
Multiplicando em cruz:
Logo:
Pronto.
Não foi necessário subir na construção.
Não foi necessário medir sua parede.
Medimos aquilo que estava acessível e usamos geometria para chegar ao que era inacessível.
Esse é um dos motivos pelos quais essa história permanece tão interessante tantos séculos depois.
Assista a uma aplicação de semelhança de triângulos
Antes de transformar o Egito Antigo em uma questão de vestibular, vale ver o mesmo raciocínio funcionando em outro problema.
No canal Waldemática temos uma resolução de uma questão clássica da FUVEST envolvendo semelhança de triângulos.
A geometria muda de desenho, mas a lógica continua exatamente a mesma:
identificar os triângulos, reconhecer a semelhança e comparar os lados correspondentes.
Do Egito para o Enem: troca a pirâmide, fica a Matemática
É aqui que a história fica interessante para quem está estudando para vestibulares.
Uma prova não precisa colocar Tales andando pelo deserto.
Ela pode trocar:
- a pirâmide por um prédio;
- o bastão por um poste;
- o deserto por uma praça;
- o Egito Antigo por uma avenida qualquer.
O cenário muda.
A Matemática não.
Quando dois objetos verticais projetam sombras no mesmo instante, temos a condição necessária para comparar os triângulos formados pelos objetos, pelo solo e pelos raios solares.
Vamos resolver dois exemplos.
Exemplo 1 — O prédio e o poste
Em uma praça, um prédio projeta uma sombra de 15 metros.
No mesmo instante, um poste de 5 metros de altura projeta uma sombra de 3 metros.
Qual é a altura do prédio?
Vamos organizar:
- sombra do prédio: 15 m;
- altura do poste: 5 m;
- sombra do poste: 3 m;
- altura do prédio: H.
Aplicamos:
Substituindo:
Multiplicando em cruz:
Então:
Portanto, o prédio possui 25 metros de altura.
Não precisamos medir o prédio.
Medimos a sombra dele.
A diferença parece pequena, mas conceitualmente é gigantesca.
Exemplo 2 — Uma pequena referência pode medir algo muito maior
Agora imagine um poste de 1,80 metro de altura projetando uma sombra de 2 metros.
No mesmo instante, um prédio próximo projeta uma sombra de 30 metros.
Qual é a altura do prédio?
Temos:
- h = 1,80 m
- s = 2 m
- S = 30 m
- H = ?
Montamos a proporção:
Multiplicando em cruz:
Logo:
O prédio mede 27 metros.
E aqui está a parte bonita:
um objeto com apenas 1,80 metro ajudou a determinar a altura de outro quinze vezes maior.
A Matemática adora esse tipo de atalho inteligente.
Por que o “mesmo instante” é tão importante?
Essa frase aparece bastante em problemas envolvendo sombras:
“no mesmo instante”
Ela não está ali por decoração.
O ângulo de incidência dos raios solares muda ao longo do dia.
De manhã, as sombras tendem a ser mais compridas.
Próximo ao meio do dia, podem ficar menores.
No final da tarde, voltam a crescer.
Se você medir a sombra do poste às 9h e a sombra do prédio às 16h, estará comparando triângulos formados sob ângulos solares diferentes.
A proporção anterior deixa de representar corretamente a situação.
Portanto, fique atento:
mesmo instante → mesmo ângulo solar → possibilidade de formar triângulos semelhantes.
Três erros comuns que destroem uma questão simples
1. Misturar lados que não correspondem
Se você escreve:
do outro lado também precisa manter:
Não monte:
A regra de três não tem culpa se você montar a proporção errada.
2. Misturar metros e centímetros
Imagine:
- poste = 180 cm;
- sombra do poste = 2 m.
Você não deve jogar esses números diretamente na proporção.
Transforme tudo para a mesma unidade:
Só depois faça as contas.
3. Começar a conta antes de entender o desenho
Esse erro é clássico.
O aluno vê quatro números e começa imediatamente a multiplicar cruzado.
Não faça isso.
Primeiro descubra:
- quais são os dois triângulos;
- quais lados representam alturas;
- quais lados representam sombras;
- quais medidas correspondem entre si.
Depois calcule.
A conta costuma ser a parte fácil.
A interpretação é que decide a questão.
O verdadeiro truque de Tales
A melhor parte dessa história não é a fórmula.
Nem a regra de três.
É a mudança de perspectiva.
Tales precisava descobrir uma altura impossível de medir diretamente.
Em vez de insistir na altura, ele observou algo relacionado a ela que era fácil de medir:
a sombra.
Essa ideia aparece o tempo inteiro em Matemática.
Quando não conseguimos calcular diretamente uma coisa, procuramos uma relação.
Pode ser:
- uma proporção;
- uma função;
- uma equação;
- uma semelhança;
- uma identidade;
- uma construção auxiliar.
Resolver problemas raramente significa atacar tudo de frente.
Muitas vezes significa encontrar o caminho lateral certo.
Matemática não é decorar fórmulas
É tentador olhar para:
e simplesmente decorar a expressão.
Mas isso perde justamente a parte mais interessante.
A fórmula funciona porque existem dois triângulos semelhantes.
Os triângulos são semelhantes porque seus ângulos correspondentes são iguais.
No problema das sombras, isso acontece porque:
- os objetos estão perpendiculares ao solo;
- consideramos o terreno adequado ao modelo;
- as medidas são feitas no mesmo instante;
- os raios solares chegam praticamente paralelos.
A fórmula é apenas a última etapa de uma cadeia de raciocínio.
Entender essa cadeia é muito mais poderoso do que decorar quatro letras.
Da próxima vez que você vir uma sombra...
Provavelmente você não vai sair pela rua medindo prédios.
Pelo menos esperamos que não faça isso no meio de uma avenida movimentada.
Mas talvez passe a olhar para uma sombra de maneira diferente.
Uma sombra carrega informação sobre:
- o objeto;
- sua altura;
- a posição aparente do Sol;
- ângulos;
- proporções.
Séculos antes de calculadoras, computadores e inteligência artificial, matemáticos já faziam exatamente isso:
observavam padrões e transformavam aquilo que viam em relações matemáticas.
É esse tipo de raciocínio que vale a pena aprender.
Continue estudando Geometria
Se você quiser aprofundar a teoria usada neste artigo, leia nosso guia completo sobre semelhança de triângulos.
Nele você encontra:
- caso AA;
- caso LAL;
- caso LLL;
- razão de semelhança;
- relação entre perímetros;
- relação entre áreas;
- aplicações resolvidas.
Você também pode revisar o que mais cai em Matemática no Enem e organizar melhor seu estudo de Geometria.
E se quiser usar tecnologia para treinar mais questões, veja nossos prompts de IA para estudar Matemática.
Uma última ideia
A Pirâmide de Quéops era gigantesca.
O bastão era pequeno.
A sombra parecia apenas uma sombra.
Mas alguém percebeu que existia uma relação entre tudo aquilo.
E é exatamente isso que a Matemática faz.
Ela transforma observações em padrões.
Padrões em relações.
Relações em soluções.
Às vezes, o problema parece enorme.
A ideia necessária para resolvê-lo pode ser bem pequena.